द्विघात समीकरण का मूल कैसे निकाले? - dvighaat sameekaran ka mool kaise nikaale?

द्विघात समीकरण के सूत्र

चर `x` में समीकरण `ax^2+bx+c=0` के प्रकार को एक द्विघात का समीकरण कहते हैं। यह समीकरण `ax^2+bx+c=0, a!=0` द्विघात समीकरण का मानक रूप है।

यदि `alpha` द्विघात समीकरण `ax^2+bx+c=0` का मूल हो, तो समीकरण को `a\alpha^2+balpha+c=0` लिखा जाता है।

द्विघाती सूत्र

यदि एक द्विघाती समीकरण `ax^2+bx+c=0` के लिये `b^2-4ac >=0` हो तो समीकरण के मूल `x= (-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)` होता है।

किसी द्विघात समीकरण `ax^2+bx+c=0` के लिये `b^2-4ac` को विविक्तकर (Discriminant) कहते हैं।

अत: द्विघात समीकरण `ax^2+bx+c=0` का यदि विविक्तकर (Discriminanat)

`b^2-4ac >0` हो, तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं,

यदि विविक्तकर (Discriminanat), `b^2-4ac =0` हो, तो समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल होते हैं,

यदि विविक्तकर (Discriminanat), `b^2-4ac <0` हो, तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है,

NCERT प्रश्नावली 4.1

प्रश्न (1). जाँच कीजिये कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं:

(i)`(x+1)^2=2(x-3)`

हल:

बाँया पक्ष `=(x+1)^2`

`=x^2+2x+1`

[∵`(a+b)^2=ax^2+2ab+b^2`]

अब, दायाँ पक्ष `=2(x-3)`

`=2x-6`

`:. x^2+2x+1=2x-6`

`=>x^2+2x+1-(2x-6)=0`

`=>x^2+2x+1-2x+6=0`

`=>x^2+7=0`

∵ दिया गया समीकरण `ax^2+bx+C=0`, के प्रकार का है, अत: यह एक द्विघात समीकरण है।

(ii)`x^2-2x=(-2)(3-x)`

हल::

दिया गया है, `x^2-2x=(-2)(3-x)`

`=>x^2-2x=-6+x`

`=>x^2-2x-(-6+x)=0`

`=>x^2-2x-6-x=0`

`=>x^2-3x+6=0`

∵ दिया गया समीकरण `ax^2+bx+C=0`, के प्रकार का है, अत: यह एक द्विघात समीकरण है।

(iii)`(x-2)(x+1)=(x-1(x+3)`

हल:

दिया गया है,

`(x-2)(x+1)=(x-1(x+3)`

`=>x^2+x-2x-2=x^2+3x-x-3`

`=>x^2-x-2=x^2+2x-3`

`=>x^2-x-2-(x^2+2x-3)=0`

`=x^2-x-2-x^2-2x+3=0`

`=-x-2-2x+3=0`

`=>-4x+1=0`

चूँकि दिया गया समीकरण `ax^2+bx+C=0`, के प्रकार का नहीं है, अत: यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv)`(x-3)(2x+1)=x(x+5)`

हल:

दिया गया है, `(x-3)(2x+1)=x(x+5)`

`=>2x^2+x-6x+3=x^2+5x`

`=>2x^2-5x-3=x^2+5x`

`=>2x^2-5x-3-(x^2+5x)=0`

`=>2x^2-5x+3-x^2-5x=0`

`=>x^2-5x-3-5x=0`

`=>x^2-10x+3=0`

∵ दिया गया समीकरण `ax^2+bx+C=0`, के प्रकार का है, अत: यह एक द्विघात समीकरण है।

(v)`(2x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)`

हल:

दिया गया है, `(2x-1)(x-3)=(x+5)(x-1)`

`=>2x^2-6x-x+3=x^2-x+5x-5`

`=2x^2-7x+3=x^2+4x-5`

`=2x^2-7x+3-(x^2+4x-5)=0`

`=2x^2-7x+3-x^2-4x+5=0`

`=>2x^2-x^2-7x-4x+5+3=0`

`=>x^2-11x+8=0`

∵ दिया गया समीकरण `ax^2+bx+C=0`, के प्रकार का है, अत: यह एक द्विघात समीकरण है।

(vi) `x^2+3x+1=(x-2)^2`

हल:

दिया गया है, `x^2+3x+1=(x-2)^2`

`=>x^2+3x+1=x^2-4x+4`

[∵ `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`]

`=>x^2+3x+1-(x^2-4x+4)`

`=>x^2+3x+1-x^2+4x-4=0`

`=>x^2-x^2+3x+4x+1-4=0`

`=>7x-3=0`

∵ दिया गया समीकरण `ax^2+bx+C=0`, के प्रकार का नहीं है, अत: यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii)`(x-2)^3=2x(x^2-1)`

हल:

दिया गया है, `(x-2)^3=2x(x^2-1)`

`=>x^3+(3xxx^2xx2)+3x(2)^2+8``=2x^3-2x`

[∵ `(a+3)^3` `=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3`]

`=>x^3+6x^2+12x+8` `=2x^3-2x`

`=>x^3+6x^2+12x+8` `-(2x^3-2x)=0`

`=>x^3+6x^2+12x+8` `-2x^3+2x=0`

`=>(x^3-2x^3)+6x^2` `+12x+2x+8=0`

`=>-x^3+6x^2+14x+8=0`

चूँकि दिया गया समीकरण `ax^2+bx+C=0`, के प्रकार का नहीं है, अत: यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) `x^3-4x^2-x+1=(x-2)^3`

हल:

दिया गया है,`x^3-4x^2-x+1``=(x-2)^3`

`=>x^3-4x^2-x+1``=x^3-(3x^2xx2)+(3x2^2)-2^3`

[∵ `(a-3)^3` `=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3`]

`=>x^3-4x^2-x+1``=x^3-6x^2+12x-8`

`=>x^3-4x^2-x+1``-(x^3-6x^2+12x-8)=0`

`=>x^3-4x^2-x+1``-x^3+6x^2-12x+8=0`

`=>x^3-x^3-4x^2+6x^2``-x-12x+1+8=0`

`=>2x^2-13x+9=0`

∵ दिया गया समीकरण `ax^2+bx+C=0`, के प्रकार का है, अत: यह एक द्विघात समीकरण है।

प्रश्न (2)निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिये:

(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल `528 m^2` है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।

हल:

दिया गया है, क्षेत्रफल = `528m^2`

तथा, लंबाई = (2 x चौड़ाई)+1

माना कि, चौड़ाई `=x`

अत: लंबाई `=2x+1`

∵ क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई

`:. 528=(2x+1) xx x`

`=>2x^2+x=528`

`=>2x^2+x-528=0`

उपरोक्त समीकरण, द्विघात समीकरण `ax^2+bx+C=0` के रूप में निरूपित किया गया है।

(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांक ज्ञात करना है।

हल:

माना कि पहला पूर्णांक `=x`

अत: दूसरा क्रमागत पूर्णांक `=x+1`

प्रश्न के अनुसार दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल `=306`

`:. x xx (x+1)=306`

`=>x^2+x = 306`

`=>x^2+x-306=0`

यह समीकरण द्विघात के प्रकार में है।

प्रश्न (2) (iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात 360 हो जायेगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।

हल:

मान लिया कि रोहन की वर्तमान उम्र (वर्षों में) `= x`

अत: प्रश्न के अनुसार रोहन की माँ की वर्तमान उम्र (वर्षों में) `=x+26`

अत: अब से तीन वर्षों पश्चात, रोहन की उम्र (वर्षों में) `=x+3`

अत: अब से तीन वर्षों पश्चात, रोहन के माँ की उम्र (वर्षों में) `=x+26+3=x+29`

दिया गया है, दोनों के उम्र का गुणनफल = 360

∴ `(x+3)(x+29)=360`

`=>x^2+29x+3x+87=360`

`=>x^2+32x+87=360`

`=>x^2+32x+87-360=0`

`=x^2+32x-273=0`

यह समीकरण द्विघात के प्रकार में है।

प्रश्न (2) (iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

हल:

माना कि रेलगाड़ी के गति `=x` km/h

अत: प्रश्न में दिये गये दिये गये घटी हुई गति में रेलगाड़ी की में गति `=(x-8)` km/h

माना कि सामान्य गति में रेलगाड़ी द्वारा लिया जाने वाला समय `=t` घंटा

अत: रेलगाड़ी द्वारा घटी हुई गति में लिया जाने वाला समय `=t+3` घंटा

हम जानते हैं कि समय = दूरी / चाल

`:. t=480/x` ---(i)

और `t+3 = 480/(x-8)`

`=> t = 480/(x-8)-3` ---(ii)

अब समीकरण (i) तथा (ii) के अनुसार

`480/x=480/(x-8)-3`

`=>480/x = (480 -3(x-8))/(x-8)`

`=> 480/x = (480-3x+24)/(x-8)`

`=> 480/x = (504-3x)/(x-8)`

क्रॉस गुणा करने के बाद हम पाते हैं कि

`=>480(x-8) = x(504-3x)`

`=> 480x - 3840 = 504x-3x^2=0`

`=> 480x - 3840 - (504x-3x^2)=0`

`=> 480x -3840-504x+3x^2=0`

`=> 3x^2 + 480x -504x -3840=0`

`=> 3x^2 - 24x -3840 =0`

दोनों तरफ 3 से भाग देने के बाद हम पाते हैं कि

`x^2 - 3x - 1280 =0`

`=> x^2 + 3(-x) +1280(-1)=0`

यह समीकरण द्विघात के प्रकार में है।

MCQs Test

10Math-hindi-home

10-Math-home

Reference:

द्विघात समीकरण का मूल सूत्र क्या है?

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने की विधि कौन सी है?

दीघा समीकरण के मूल क्या होते हैं?

द्विघात समीकरण 21x 2 )