वृत्त की स्पर्श रेखा क्या होती है? - vrtt kee sparsh rekha kya hotee hai?

Vrit ki Sparsh Rekha aur Chhedak Rekha

परिचय

वृत्त की स्पर्श रेखा और छेदक रेखा (Tangent and Secant of Circles) की परिभाषा इस प्रकार है।

छेदक रेखा – किसी वृत्त में, यदि कोई रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तो वह रेखा वृत्त की छेदक रेखा (Secant of Circle) कहलाती है।

उपरोक्त आकृतियों में, रेखा PQ एक छेदक रेखा है जो वृत्तों को बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करती है, जिन्हें प्रतिच्छेद बिंदु कहा जाता है। छेदक रेखा हमेशा वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। यदि हम केवल प्रतिच्छेद बिन्दुओं को लें, तो छेदक रेखा वृत्त की जीवा होती है।

स्पर्श रेखा – किसी वृत्त में, यदि कोई रेखा वृत्त को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है, तो वह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent of Circle) कहलाती है।

उपरोक्त आकृतियों में, रेखा PQ स्पर्श रेखा है जो वृत्तों को बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती है। स्पर्श रेखा वृत्त को हमेशा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। स्पर्शरेखा, छेदक रेखा की वह विशेष स्थिति है जिसमें उसकी संगत जीवा के दोनों सिरे एक दूसरे से एक बिंदु पर मिलते हैं।

स्पर्श रेखा वृत्त को एक बिंदु पर स्पर्श करती है जिसे स्पर्श बिंदु कहा जाता है। यह बिंदु, स्पर्श रेखा और वृत्त का उभयनिष्ठ बिंदु होता है। हम स्पर्श बिंदु पर एक से अधिक स्पर्श रेखाएं नहीं खींच सकते हैं और यदि हम खींचने की कोशिश करते हैं तो अन्य रेखाएं छेदक रेखाएं बन जाती है।

वृत्त में समांतर स्पर्श रेखाएं

एक वृत्त पर केवल दो समांतर स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं। इसे नीचे दी गई आकृति से बेहतर ढंग से समझा जा सकता है।

यदि हम वृत्त में एक छेदक रेखा खींचते हैं, माना छेदक रेखा AB है और छेदक रेखा AB के ऊपर और नीचे समानांतर छेदक रेखाएँ खींचते हैं। हम देखेंगे कि छेदक रेखा के संगत जीवा की लंबाई घटती जा रही है और प्रतिच्छेदी बिंदु एक दूसरे के निकट आ रहे हैं। अंत में, यह लंबाई छेदक रेखा AB के दोनों ओर शून्य हो जाएगी। इस स्थिति में अब छेदक रेखाएँ A’B’ तथा A”B” है। ये छेदक रेखाएँ AB के समानांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और हम देख सकते हैं कि वृत्त में केवल दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो समानांतर हैं। उपरोक्त आकृति वृत्त की स्पर्श रेखा और छेदक रेखा (Tangent and Secant of Circles) में अंतर स्पष्ट करती है।

स्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु पर वृत्त की त्रिज्या के लंबवत होती है। इस कथन को प्रमेय द्वारा समझा जा सकता है।

प्रमेय 1) वृत्त के किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।

दियागया है – OA वृत्त की त्रिज्या है और XY बिंदु A पर स्पर्श रेखा है।

सिद्ध करना है कि – OA ⊥ XY

रचना – स्पर्श रेखा XY पर एक बिंदु B लिया और OB को मिलाया।

उपपत्ति – स्पर्श रेखा XY पर एक बिंदु B है। हम देख सकते हैं कि स्पर्शरेखा पर प्रत्येक बिंदु वृत्त के बाहर होगा, केवल बिंदु A को छोड़कर जो स्पर्श बिंदु पर स्थित है।

बिंदु B के लिए,

यह स्पष्ट है कि OB > OA [क्योंकि वृत्त के बाहर स्थित बिंदु की दूरी त्रिज्या से अधिक है]

इसका अर्थ है कि त्रिज्या (OA) स्पर्शरेखा XY पर स्थित बिंदु से सबसे छोटी दूरी है और यह भी ज्ञात है कि एक सीधी रेखा से लंबवत दूरी, सबसे छोटी दूरी होती है।            

अत:         OA ⊥ XY इति सिद्धम

प्रमेय का विलोम

प्रमेय 2) यदि वृत्त पर स्थित किसी बिंदु से खींची गई रेखा त्रिज्या के लंबवत हो तो वह स्पर्श रेखा होती है।

दिया गया है – OA वृत्त की त्रिज्या है और OA ⊥ XY है।

सिद्धकरनाहैकि – XY बिंदु A पर स्पर्श रेखा है।

रचना – XY पर एक बिंदु B लिया और OB को मिलाया।

उपपत्ति – ∵ OA ⊥ XY [दिया गया है]

इसका अर्थ है OA < OB [क्योंकि सीधी रेखा से लंबवत दूरी, सबसे छोटी दूरी होती है]

इसलिए बिंदु B सहित सभी बिंदु, जो रेखा XY पर स्थित हैं, वृत्त के बाहर होंगे। लेकिन बिंदु A वृत्त पर होगा क्योंकि OA त्रिज्या है और उस पर रेखा XY खींची गई है इसलिए यह वृत्त और रेखा XY का उभयनिष्ठ बिंदु है और हम जानते हैं कि उभयनिष्ठ बिंदु स्पर्शरेखा और वृत्त का स्पर्श बिंदु होता है।

अत: XY स्पर्श रेखा है।        इति सिद्धम

वृत्त पर एक बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की संख्या

एक वृत्त पर एक बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं? यह प्रश्न हल हो सकता है जब हम जानते हो कि बिंदु कहाँ स्थित है। हम जानते हैं कि एक वृत्त समतल को तीन भागों में विभाजित करता है। (1) आंतरिक भाग (वृत्त के अंदर) (2) वृत्त पर (3) बाहरी भाग (वृत्त के बाहर)।

हम तीन भागों की सभी तीन स्थितियों के लिए आकृतियों द्वारा स्पर्श रेखाएँ खीचेंगे।

(1) यदि बिंदु वृत्त के अंदर स्थित है – यदि बिंदु वृत्त के अंदर स्थित है तो हम उस बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींच सकते हैं। यदि हम उस बिंदु से कोई रेखा खींचते हैं तो वह एक छेदक रेखा होगी और कई छेदक रेखाएँ खींची जा सकती हैं। यहाँ इसकी आकृति है।

आकृति में, P वृत्त के अंदर स्थित बिंदु है।

(2) यदि बिंदु वृत्त पर स्थित है – यदि बिंदु वृत्त पर स्थित है तो हम जानते हैं कि उस बिंदु से एक और केवल एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है। आकृति पर एक नजर डालें।

आकृति में, P वृत्त पर स्थित बिंदु है। इस बिंदु को स्पर्श बिंदु कहा जाता है।

(3) यदि बिंदु वृत्त के बाहर स्थित है – यदि बिंदु वृत्त के बाहर स्थित है तो उस बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं। यह आकृति दर्शाएगी।

आकृति में, P वृत्त के बाहर स्थित बिंदु है। दो स्पर्श रेखाएँ PT1 और PT2 हैं। T1 स्पर्श रेखा PT1 का स्पर्श बिंदु है और T2 स्पर्शरेखा PT2 का स्पर्श बिंदु है।

वृत्त के स्पर्श बिंदु से बाहरी बिंदु P तक की लंबाई (P से T1) को स्पर्शरेखाकीलंबाईकहा जाता है। यहाँ PT1 और PT2 स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ हैं। उनके बीच एक सम्बन्ध है। दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ समान होंगी लेकिन कैसे? चलिए प्रमेय की सहायता से देखते हैं।

प्रमेय – 3) किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।

दियागयाहै – PT1 और PT2 बाहरी बिंदु P से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ हैं।

सिद्धकरनाहैकि – PT1 = PT2

रचना – बिंदु P, T1 और T2 को वृत्त के केंद्र से मिलाया।

उपपत्ति – △PT1O और △PT2O में,

∠PT1O = ∠PT2O = 90° [स्पर्शरेखा त्रिज्या पर लंबवत होती है]

OP = OP [उभयनिष्ठ भुजा]

OT1 = OT2 [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]

RHS नियम से, △PT1O ≅ △PT2O

इसलिए, CPCT द्वारा,          PT1 = PT2              इति सिद्धम

नोट – 1) उपरोक्त प्रमेय में, △PT1O ≅ △PT2O. इसलिए CPCT द्वारा, ∠OPT1 = ∠OPT2.

इसका अर्थ है कि OP, ∠T1PT2 का कोण समद्विभाजक है, इसलिए वृत्त का केंद्र दो स्पर्श रेखाओं के कोण समद्विभाजक पर स्थित होता है।

2) उपरोक्त प्रमेय को पाइथागोरस प्रमेय द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है।

PT12 = OP2 – OT12       और       PT22 = OP2 – OT22

∵ OT1 = OT2 [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]

इसलिए, PT12 = OP2 – OT12 = PT22   

PT1 = PT2

उदाहरण

उदाहरण – यदि वृत्त के केंद्र से एक बाह्य बिंदु की दूरी 10 सेमी और वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है। तो स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात कीजिये।

हल –

हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा, त्रिज्या पर लंबवत होती है।

आकृति में, हम देख सकते हैं कि △PQO एक समकोण त्रिभुज है।

तो, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

PQ2 = OP2 – OQ2

PQ2 = (10)2 – (6)2

PQ2 = 100 – 36 = 64

PQ = √64

PQ = 8 सेमी

इसलिए, स्पर्शरेखा की लंबाई 8 सेमी है।        उत्तर

वृत्त की स्पर्श रेखा और छेदक रेखा (Tangent and Secant of Circles) कक्षा 10 अँग्रेजी में

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