पिछली पोस्ट में हम गणित के अध्याय अनुपात एवं समानुपात की समस्त जानकारी शेयर कर चुके है यदि अपने वह अभी तक नहीं पढ़ी तो उसे जरूर पढ़े। Show
चलिए नीचे LCM और HCF को विस्तार से समझते है।
लघुत्तम समापवर्तक (LCM in Hindi)दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक वह छोटी से छोटी संख्या हैं जो उन संख्याओं से पूरी विभाजित हो जाती हैं। जैसे:- 4, 8, 12 का लघुत्तम समापवर्तक = 2×2×2×3 = 24, अतः अभीष्ट लघुत्तम समापवर्तक 24 वह छोटी से छोटी संख्या हैं जो 4, 8, 12 तीनों से पूरी-पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं । महत्तम समापवर्तक (HCF in Hindi)दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक वह बड़ी से बड़ी संख्या हैं जिसमें वह सभी संख्याएँ पूरी-पूरी विभाजित हो जाती हैं। Ex:- 4, 8, 12 का महत्तम समापवर्तक 4 हैं। LCM और HCF के सूत्र
LCM और HCF के उदाहरणQ.1 24, 32, 40, गुणनखण्ड विधि से लघुत्तम समावतर्क एवं महत्तम समावतर्क निकालिए? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 480, 8 Q.2 18, 42, 102 का महत्तम समापवर्तक निकालिए? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. HCF = 6 Q.3 60, 45, 180, 24, का HCF निकालिये? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 3 Q.4 923, 949 का HCF निकालिए? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 13 Q.5 216, 288 और 720 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 72 Q.6 9/10, 12/25, 18/35, 21/40 का महत्तम समापवर्तक निकालिए? हल:- HCF = 9, 12, 18, 21 Ans. 6/1400 Q.7 3/4, 6/7, 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 24 Q.8 5/7, 7/8 एवं 8/9 का लघुत्तम समापवर्तक हैं? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 280 Q.9 छोटे से छोटा वह भिन्न जो 6/7, 5/14, 10/21 से पुर्णतः विभक्त हो जाए हैं? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 30/7 Q.10 0.9, 0.18, 3.6, 7.2, 0.144 का लघुत्तम समापवर्तक क्या हैं? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 7.2 Q.11 x² + xy + y² और x³ – y³ का L.C. M. होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. x³ – y³ Q.12 x² – 9 और x² – 6x + 9 का महत्तम समापवर्तक हैं? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. (x – 3) Q.13 7/9, 14/15, 7/10 का लघुत्तम समावतर्क एवं महत्तम समावतर्क निकालिए? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. LCM = 90, HCF = 7 Q.14 368/437 का सरलतम रूप क्या है? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 16/19 Q.15 वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं, जो 4, 6, 8, 9, 12, से पूर्णतः विभाजित हो? हल:- 4, 6, 8, 9, 12, का LCM = 72 Ans. 72 Q.16 दो संख्याओं के LCM और HCF क्रमशः 48, 8, हैं यदि इनमे से एक संख्या 24 हैं, तो बताये दूसरी संख्या क्या होगी? हल:- प्रश्ननानुसार, Ans. 16 Q.17 वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं जिसे 14, 21, 28, 35 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 5 शेष बचे? हल:- प्रश्ननानुसार, Ans. 425 Q.18 a,b,c एक वृताकार स्टेडियम में उसके चारों और एक ही बिंदु से एक साथ दौड़ना प्रारंभ करते हैं तथा क्रमशः 28, 24, 32 सेकण्ड में एक चक्कर पूरा करते हैं वे तीनों कितने समय बाद प्रारम्भिक बिंदु पर फिर से मिलेंगे? हल:- प्रश्ननानुसार, Ans. 24/5 Q.19 तीन विभिन्न चौराहों पर आवागमन सूचक वृतिया क्रमशः 48 सेकेण्ड, 72 सेकेंड, और 108 सेकेंड के बाद बदलती हैं यदि वे एक साथ अभी बदली हो तो फिर कितने समय बाद बदलेगी? हल:- प्रश्ननानुसार, Ans. 432 Q.20 3 प्रकार के तारों की लंबाई क्रमशः 4672, 3869, 2993, मीटर हैं, एक अन्य प्रकार के तार की अधिकतम लम्बाई क्या है जिससे तीनों प्रकार के तारों की लंबाई को पूर्णतः नापा जा सकें। हल:- प्रश्ननानुसार, Ans. 73 Q.21 24, 36, 40 का LCM निकालिए? हल:- प्रश्ननानुसार, Ans. 360 Q.22 दो संख्याओं का लासा 495 है तथा उनका महत्तम समापवर्तक 5 है यदि उन संख्याओं का योग 100 हो तो उन का अंतर कितना होगा? हल:- प्रश्ननानुसार, Ans. 10 Q.23 वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 29 30 और 3250 में भाग देने पर क्रमशः 7 और 11 शेष बचे ? हल:- प्रश्ननानुसार, Ans. 79 Q.24 वह छोटी से छोटी संख्या निकालें जिसे 5, 6, 7, 8 से भाग देने पर 3 शेष बचता है परन्तु 9 से भाग देने पर कोई शेष नही बचता? हल :- प्रश्ननानुसार, Ans. 1683 Q.25 वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करें जो 10, 20, 30, 40 तथा 50 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 7 शेष बचे? हल:- प्रश्ननानुसार, Ans. 607 Q.26 चार अंक की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करे जो 2, 3, 4, 5, 6 और 7 से पूर्ण रूप से भाज्य हो? हल:- प्रश्ननानुसार, Ans. 1260 Q.27 दो संख्याओं का गुणनफल 7168 है एवं उनका म0 स0 16 है तो संख्याएं क्या है? हल:- प्रश्ननानुसार, Ans. 112, 64 Q.28 66, 75, 130 का लघुत्तम समापवर्तक निकालिए? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 21450 Q.29 9, 30, 27, 15 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 270 Q.30 36 और 84 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 12 Q.31 1/3, 5/6, 2/9, 4/27 का लघुत्तम समापवर्तक हैं? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 20/3 Q.32 2.4, 0.36 तथा 7.2 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 0.12 Q.33 यदि (x – a), (x² – x – 6) और (x² + 3x – 18) का महत्तम समापवर्तक हैं, तो a का मान होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 3 Q.34 दो व्यजकों का महत्तम समापवर्तक (x + 2) और लघुत्तम समापवर्तक (x + 2) (x – 1) (x² – 2x + 4) हैं यदि उनमें से एक व्यंजक (x² – 2x + 4) हो, तो दूसरा व्यंजक होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. (x + 2)² (x – 1) Q.35 दो संख्याओं x एवं y का ल. स. a हैं, x तथा y का म. स. होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. xy/a Q.36 दो संख्याओं का म. स. 16 तथा ल. स. 160 हैं यदि इनमें से एक संख्या 32 हो, तो दूसरी संख्या होंगी? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 80 Q.37 दो संख्याओं का ल. स. 225 हैं तथा उनका म. स. 5 हैं यदि एक संख्या 25 हो, तो दूसरी संख्या होगी? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 45 Q.38 दो संख्याओं का ल. स 864 हैं और उनका म. स 144 हैं यदि उनमें से एक संख्या 288 हो, तो दूसरी संख्या होंगी? हल:- प्रश्नानुसार, Ans. 432 जरूर पढ़े :घातांक एवं करणीसाधारण व्याजलाभ हानिगणित के महत्वपूर्ण सूत्रबीजगणित सर्वसमिकाज्यामिति के सूत्रनीचे 50 प्रश्न दिए गए हैं जिनके साथ उन प्रश्नों के उत्तर भी लिखे हुए हैं इन प्रश्नों को हल आपको ही करना हैं नीचे दिए हूए प्रश्नों को यदि आप खुद से हल करेंगे तो आपकी प्रैक्टिस हो जाएगी और परीक्षा में आने वाले प्रश्नों को आप आसानी से हल कर पाएंगे और सही उत्तर को टिक कर पाएंगे यदि आपको कोई भी प्रश्न में डाउट हो आपको कोई प्रश्न समझ ना आए तो आप कमेंट द्वारा पूछ सकते हैं आपको उस प्रश्न का हल जरूर मिलेगा। LCM और HCF के अभ्यासQ.1 24, 36, 40 का LCM निकालिए? Ans. 360 Q.2 1.08, 0.36, 0.6 का महत्तम समावतर्क निकालिए? Ans. 0.18 Q.3 3, 2.7, 0.09 का LCM निकालिए? Ans. 27 Q.4 611 / 1363 का सरलतम रूप क्या है? Ans. 13 / 29 Q.5 वह बड़ी से बड़ी संख्या जिसमे 19 तथा 68 को भाग देने पर क्रमशः 3 तथा 4 शेष बचे, होगी? Ans. 16 Q.6 वह बड़ी से बड़ी संख्या जिसमें 121, 342 तथा 415 को भाग देने पर क्रमशः 10, 9, 8 शेष बचे ? Ans. 37 Q.7 वह छोटी से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या क्या है जो 12, 15, 25 से पूर्णतः विभाजित हैं ? Ans. 900 Q.8 वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करेें जिसमें से 8 घटाने पर शेष बची संख्या 16, 18, 20, 24 में से प्रत्येक से पूर्णतः विभाजित हो ? Ans. 720 Q.9 वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं जिसमें 4, 5, 6, 8, 12, से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 3 शेष बचे? Ans. 123 Q.10 वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं जिसमें 20, 25, 30 से भाग देने पर क्रमशः 8, 13, 18 शेष बचे? Ans. 300 Note:- ऊपर वाले प्रश्नो के लिए हैं। इस प्रकार के प्रश्नों में दी गई संख्याओं का LCM निकाल कर शेष बची संख्या या घटाने वाली संख्या को जोड़कर संख्या प्राप्त होती हैं। Q.11 किसी संख्या को जब 12, 24, 48, 60 से विभाजित किया जाता हैं, तब प्रत्येक स्थिति में क्रमशः 5, 17, 41, 53 प्राप्त होता हैं वह संख्या बताये? Ans. 233 Q.12 किसी संख्या को जब 42,,70, 84, 91, से विभाजित किया जाता हैं, तब प्रत्येक स्थिति में क्रमशः 23, 51, 65, 72, प्राप्त होता हैं वह संख्या बताये ? Ans. 5441 Note:- ऊपर वाले प्रश्नो के लिए हैं। इस प्रकार के प्रश्नों में जिस संख्याओं से विभाजित करना हो उनका LCM निकले और उनमें से उन सभी का उभयनिष्ठ अंतर घटाए, इससे उत्तर प्राप्त होगा । Q.13 वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं जिसे 3, 5, 6, 8, 10, 12 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 2 शेष बचे, परन्तु 13 से पूर्णतः विभाजित हो ? Ans. 962 Q.14 वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी हैं जिसे 5, 6, 7, 8, से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 3 शेष बचे, परन्तु 9 से पूर्णतः विभाजित हो ? Ans. 1683. Note:- ऊपर वाले प्रश्नो के लिए हैं। इस प्रकार के प्रश्नों में दिए गए विकल्पों की सहायता से उत्तर प्राप्त होगा जिसमें प्रत्येक विकल्पों को पूर्णतः विभाजित करने वाली संख्या से चेक किया जाएगा। यदि इससे उत्तर प्राप्त न हो तो उन्हीं विकल्पों को दी गई संख्याओं से विभाजित करने पर जो शेष बचाया जा रहा हैं, वह चेक करना होगा। Q.15 चार अंको की वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी हैं जिसको 16, 24, 30, 42 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 3 शेष बचे ? Ans. 8, 403 Q.16 चार अंको की वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी हैं जिसे 15, 18, 21, तथा 24 से भाग देने पर क्रमशः 8, 11, 14, शेष बचे ? Ans. 7, 567 Q.17 13 का न्यूनतम गुणज वह कौन सी संख्या हैं, जिसको 8, 12, 14, 16, 18 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 6 शेष बचें ? Ans. 1014 Q.18 चार अंको की वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी हैं जिसे 12, 18, 21, तथा 24 से भाग देने पर क्रमशः 8, 11, 14, शेष बचे ? Ans. 9,576 Q.19 3 अंको की वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी हैं जिसे 3, 6, 12, में से विभाजित करने पर पूर्णतः हो ? Ans. 972 Q.20 वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी हैं जो 254, 474, 562, को पूर्णतः विभाजित कर सकें ? Ans. 2 Q.21 वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी हैं जिससे 187, 233,279 को पूर्णतः विभाजित किया जा सके ? Ans. 1 Q.22 वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी हैं जिससे 147, 168, 210 और 315 को पूर्णतः विभाजित किया जा सकें ? Ans. 21 Q.23 वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी हैं जिससे 1356, 1868, 2764 को भाग देंने पर प्रत्येक स्थिति में 12 शेष बचें ? Ans. 1344, 1856, 2752 Q.24 वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी हैं जिससे 254, 474, और 562 को भाग देंने पर प्रत्येक स्थिति में 12 शेष बचें ? Ans. 22 Q.25 वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी हैं जिससे 964, 1238, 1400 को भाग देंने पर क्रमशः 41, 31, 51, शेष बचें ? Ans. 71 Q.26 वह बड़ी से बड़ी संख्या कौन सी हैं जिससे 187, 233, 279 को भाग देंने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेष बचें ? Ans. 46 Q.27 तीन विभिन्न चौराहों पर आवागमन सूचक वृतिया क्रमशः 48 सेकेण्ड, 72 सेकेंड, और 108 सेकेंड के बाद बदलती हैं यदि वे 8:20:00 बजे बदली हो तो फिर कितने समय बाद बदलेगी ? Ans. 8:27:12 Q.28 एक मंदिर में 6 घण्टियाँ लगी हुई हैं, जिनमें से वे क्रमशः 4 सेकेण्ड, 6 सेकेण्ड, 8 सेकेण्ड, 20 सेकेण्ड, और 12 सेकेंड और 18 सेकेण्ड में बजती हैं यदि वे एक साथ अभी बजी हो तो फिर कितने समय बाद बजेगी ? Ans. 4, 6, 8, 20, 12, 18 का LCM = 180 ans. Q.29 एक मंदिर में 6 घण्टियाँ लगी हुई हैं, जिनमें से वे क्रमशः 10 सेकेण्ड, 12 सेकेण्ड, 15 सेकेण्ड, 20 सेकेण्ड, और 25 सेकेंड और 30 के अंतराल पर बजती हैं यदि वे एक साथ अभी बजी हो तो फिर कितने समय बाद बजेगी ? Ans. 10, 12, 15, 20, 25, 30 का LCM = 300 Q.30 पत्थरों के एक ढेर को क्रमशः 32, 40, और 72, के ढेर बनाने पर क्रमशः 10, 18, 50 पत्थर शेष बच जाते हैं तो बताए इस ढेर में कितने पत्थर शेष बचते हैं ? Ans. 1418 Q.31 एक स्कूल अध्यापक के पास 2 तरह की टाफियां थी जिनकी संख्या क्रमशः 336, 464, थी किसी एक प्रकार की टॉफियों को वह अत्यधिक कितने छात्रों में बांटे जिससे उसके पास उस प्रकार की 1 भी टॉफी शेष न बचे। Ans. 16 टाफियां। Q.32 कोई व्यक्ति बाजार से किताब, कलम, और अभ्यास पुस्तिका खरीदने गया जिसका मूल्य क्रमशः 85, 153, तथा 34 रु. प्रति यूनिट हैं वह अधिक्तम मूल्य क्या होगा, जिससे किसी भी प्रकार की वस्तु को पूर्णतः खरीद जा सके। Ans. 1530 Q.33 किसी दूध वाली की एक टंकी में 75 लीटर और दूसरी टंकी में 45 लीटर दुध हैं, उस बड़े से बड़े माप क्या है जो दोनों टँकीयो के दुध को पूरा माप सके? Ans. 15 Q.34 78 सेंटीमीटर, 104 सेंटीमीटर, 117 सेंटीमीटर, 169 सेंटीमीटर, लम्बाई धातु की चार छड़ों को अधिकतम लम्बाई की बराबर छड़ो में काट ने पर सभी छड़ों की अधिकतम संख्या क्या हैं ? Ans. 36 Q.35 105 बकरिया, 140 गधे, और 175 गायों को एक नदी के पार ले जाना हैं मात्र एक ही बड़ी नाव के उपलब्ध होने के कारण इस कार्य को सम्पन्न नाविक शर्त रखता हैं कि प्रत्येक फेरे वह केबल एक ही प्रकार के तथा गिनती में समान अधिक से अधिक पशुओं को ले जाएगा बताइये प्रत्येक बार पशुओं को ले जाने की संख्या कितनी हैं ? Ans. 35 Q.36 एक व्यक्ति को पेट्रोल के 403 लीटर, डीजल के 465 लीटर, और मोबिल ऑयल के 496 लीटर, को एक दूसरे के साथ मिलाएं बिना पूर्णतः समान माप के डिब्बे में इस प्रकार भरना हैं, की प्रत्येक डिब्बा पूरा भर जाए ? Ans. 44 Q.37 2 संख्याएं जिनका अनुपात 5 : 6 हैं, यदि इनका HCF 4 हो तो बताये इन संख्या का LCM क्या होगा ? Ans. 120 Q.38 2 अंको वाली दो संख्याओं का गुणन फल 1350 हैं, यदि इसका HCF 15 हैं, तो LCM बताइए ? Ans. 90 Q.39 छोटे से छोटा वह भिन्न जो 6/7, 5/14, 10/21 से पुर्णतः विभक्त हो जाए Ans. 30/7 Q.40 3/16, 5/12, 7/18 का जी, सी. डी. हैं? Ans. 1/144 Q.41 10a²bc, 15abc², 20a²b²c का लघुत्तम समापवर्तक हैं? Ans. 60 a²b²c² Q.42 दो व्यंजकों का महत्तम समापवर्तक तथा लघुत्तम समापवर्तक क्रमशः 12 और 396 हैं यदि उनमें से एक संख्या 36 हो, तो दूसरी संख्या होंगी? 145 और 87 का लघुतम समापवर्त्य क्या है?तीन संख्याएँ 3 ∶ 4 ∶ 5 के अनुपात में है और उनका लघुत्तम समापवर्त्य 2400 है।
35 306 तथा 657 का महत्तम समापवर्तक 9 है लघुत्तम समापवर्त्य कितना होगा?∴ 306 और 657 का लघुत्तम समापर्त्य 22338 है।
12 15 और 45 का महत्तम समापवर्त्य क्या है?Detailed Solution. ∴ 12, 15 और 45 का महत्तम समापवर्त्य 3 है।
336 528 और 240 का लघुत्तम समापवर्त्य क्या है?Detailed Solution
संख्याएं 336, 528 और 240 हैं। ∴ 336, 528 और 240 का लघुत्तम समापवर्त्य 18480 है।
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