इस पेज पर आप गणित विषय के महत्वपूर्ण अध्याय, औसत के सूत्र, परिभाषा, ट्रिक्स और उदाहरण को विस्तार से पढ़ेगे। पिछली पोस्ट में हम गणित विषय के अध्याय चक्रवृद्धि ब्याज के बारे में पढ़ चुके है यदि अपने वह
पोस्ट नहीं पढ़ी पढ़े तो उसे जरूर पढ़े। चलिए अब औसत के सूत्र, परिभाषा, ट्रिक्स और उदाहरण की समस्त जानकारी को पढ़कर समझते है।
औसत किसे कहते है
दो या दो से अधिक सजातीय राशियों के जोड़ को उन राशियों की संख्या से भाग करने पर प्राप्त भागफल उन राशियों का औसत कहलाता हैं
इसे निम्न सूत्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैं।
औसत = राशियों का योग / राशियों की संख्या
यदि x₁, x₂, x₃, x₄, ……………………..xn, n राशियां हो तो
औसत = (x₁ + x₂ + x₃ + …………………..+ xn) / n
Note : औसत को मध्यमान या माध्य भी कहा जाता हैं।
औसत के सूत्र
- प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत = (n + 1)/2
- n तक की प्राकृत संख्याओं का औसत = (n + 1)/2
- लगातार n तक की पूर्ण संख्याओं का औसत = n/2
- n तक की सम संख्याओं का औसत = (n + 2)/2
- लगातार n तक की प्राकृत विषम संख्याओं का औसत = (n + 1)/2
- n तक विषम संख्याओं का औसत = n
- लगातार n तक सम संख्याओं का औसत = n + 1
- प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत = (n + 1) (2n + 1)/6
- प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत = n(n + 1)²/4
संख्याओं के श्रेणी का अंतर समान हो, तो
- औसत = (पहली संख्या+अंतिम संख्या) / 2
- नए व्यक्ति की आयु = (नया औसत × नयी संख्या) – (पुराना औसत × पुरानी संख्या)
- G₁ तथा G₂ राशियों का औसत क्रमशः A₁ तथा A₂ हो तो (G₁ + G₂) राशियों का औसत = (G₁ × A₁) + (G₂ × A₂) / (G₁ + G₂) होगा।
- G₁ तथा G₂ राशियों का औसत क्रमशः A₁ तथा A₂ हो। तो (G₁ – G₂) राशियों का औसत = (G₁ × A₁) – (G₂ × A₂) / (G1 – G2) होगा।
औसत के उदाहरण
Q.1 1 से 25 तक की प्राकृत संख्याओं का औसत क्या होगा?
A. 10
B. 11
C. 12
D.
13
हल: प्रश्नानुसार,
n = 25
लगातार n तक की प्राकृत संख्याओं का औसत = (n+1)/2
औसत = (25+1)/2
= 26/2
= 13
Ans. 13
Q.2 0 से 25 तक कि पूर्ण संख्याओं का औसत क्या होगा?
A. 10.6
B. 12.5
C. 13.7
D. 19.5
हल: प्रश्नानुसार,
n = 25
लगातार लगातार n तक की पूर्ण संख्याओं का औसत = n/2
औसत = 25/2
= 12.5
Ans. 12.5
Q.3 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 तथा 20 का औसत क्या होगा?
A. 11
B. 13
C.
15
D. 17
हल: प्रश्नानुसार,
n = 20
लगातार n तक की सम संख्याओं का औसत = (n+2)/2
औसत = (20+2)/2
= 22/2
= 11
Ans. 11
Q.4 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, तथा 15 का औसत क्या होगा?
A. 8
B. 10
C. 12
D. 15
हल: प्रश्नानुसार,
n = 15
लगातार n तक की प्राकृत विषम संख्याओं का औसत = (n+1)/2
= ( 15 + 1 ) / 2
= 16 / 2
= 8
Ans. 8
Q.5 लगातार 11 विषम संख्याओं का औसत क्या होगा?
A. 9
B. 11
C.
13
D. 15
हल: प्रश्नानुसार,
n = 11
लगातार n तक विषम संख्याओं का औसत = n
Ans. 11
Q.6 लगातार 10 सम संख्याओं का औसत क्या होगा?
A. 9
B. 11
C. 13
D. 15
हल: प्रश्नानुसार,
n = 10
लगातार n तक सम संख्याओं का औसत = n + 1
औसत = 10 + 1
= 11
Ans. 11
Q.7 2, 5, 8, 11, 14, 17 और 20 औसत क्या होगा?
A. 9
B. 11
C. 13
D. 15
हल: प्रश्नानुसार,
औसत = (पहली संख्या + अंतिम संख्या) / 2
औसत =
(2+20)/2
= 22/2
= 11
Ans. 11
Q.8 5 बच्चों की औसत आयु 8 वर्ष हैं, यदि बच्चों की उम्र में पिता की आयु जोड़ दी जाती हैं, तो उनकी औसत उम्र 15 वर्ष हो जाती हैं, पिता की आयु कितनी हैं?
A. 25
B. 50
C. 75
D. 100
हल: प्रश्नानुसार,
नए व्यक्ति की आयु = (नया औसत × नयी संख्या) – (पुराना औसत × पुरानी संख्या)
पिता की आयु = (15 × 6) – (8 × 5)
= 90 – 40
Ans. 50 वर्ष
Q.9 25 शिक्षकों की औसत उम्र 50 वर्ष हैं, 10 शिक्षकों को और
सम्मिलित हो जाने पर औसत उम्र 45 वर्ष हो जाती हैं, नए शिक्षकों की औसत उम्र क्या हैं?
A. 24.8
B. 30.5
C. 32.5
D. 40.8
हल: प्रश्नानुसार,
25 शिक्षकों की कुल उम्र = 25 × 50
= 1250 वर्ष
10 शिक्षकों को और सम्मिलित होने पर कुल उम्र = 35×45
= 1575 वर्ष
नए शिक्षकों की कुल उम्र = 1575 – 1250
= 324 वर्ष
10 शिक्षकों की औसत उम्र = 325 / 10
Ans. 32.5
Q.10 8 संख्याओं का औसत 56 हैं, तीन संख्याएँ क्रमशः 49, 57 तथा 72 हैं, तो शेष 5 संख्याओं का औसत
बताइए?
A. 50
B. 54
C. 60
D. 65
हल: प्रश्नानुसार,
8 संख्याओं का औसत = 56
8 संख्याओं का कूल योग = 56 × 8
= 448 रूपए
तीन संख्याओं का योग = 49 + 57 + 72
= 178 रूपए
शेष पाँच संख्याओं का योग = 448 – 178
= 270
अतः शेष पाँच संख्याओं का औसत = 270 / 5
Ans. 54
Q.11 जब 17 संख्याएँ क्रमवार लगायी गई, तो उनका औसत 19 होता हैं, इनमें से प्रथम 9 संख्याओं का औसत 17 होता हैं, जबकि अंतिम 9 संख्याओं का औसत 21 होता हैं उनमें से 9 वां अंक कौन-सा
हैं?
A. 19
B. 23
C. 25
D. 27
हल: प्रश्नानुसार,
17 संख्याओं का योग = 17 × 19
= 323
प्रथम 9 संख्याओं का योग = 9 × 17
= 153
अंतिम 9 संख्याओं का योग = 9 × 21
= 189
9 वीं संख्या = 153 + 189 – 323
= 342 – 323
Ans. 19
Q.12 8 अभाज्य संख्याओं का औसत क्या हैं?
A. 4.890
B. 8.984
C. 9.625
D. 10.789
हल: प्रश्नानुसार,
प्रथम 8 अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 हैं।
औसत = (2+3+5+7+11+13+17+19) /
8
= 77 / 8
= 9.625
Ans. 9.625
Q.13 30 विघार्थियों की एक कक्षा की औसत आयु 15.2 वर्ष हैं, यदि कक्षा में 15 लड़के और आ जाते हैं, तो पूरी कक्षा का औसत आधा वर्ष घट जाता हैं, नए आने वाले लड़कों की आयु का औसत हैं?
A. 13.7
B. 15.7
C. 16.7
D. 17.9
हल:
30 विघार्थियों की औसत आयु = 15.2 वर्ष
30 विघार्थीयों की कुल आयु = 456 वर्ष
प्रश्नानुसार,
45 विघार्थियों की औसत आयु = 14.7 वर्ष
45 विघार्थियों की कुल आयु = 66.15 वर्ष
15
विघार्थियों की कुल आयु = 661.5 – 456
= 205.5 वर्ष
15 विघार्थियों की औसत आयु = 205.5 / 15
= 13.7 वर्ष
Ans. 13.7 वर्ष।
Q.14 एक क्रिकेट खिलाड़ी की 10 परियों के रनों का औसत 32 था, खिलाड़ी अगली पारी में कितने रन बनाए, ताकि उसके रनों का औसत 4 अधिक हो जाए?
A. 72
B. 76
C. 78
D. 80
हल: 10 पारियों के रनों का औसत = 32
10 परियों के रनों का योग = 320
माना,
11 वीं पारी में x रन बनाए गए
(320+x) / 11 = 36
320 + x = 396
x = 396 – 320
x = 76
Ans. 76
Q.15 आठ संख्याओं का औसत 20 हैं, पहली दो संख्याओं का औसत 31/2 तथा अगली तीन संख्याओं का औसत 64/3 हैं, यदि 6 वी संख्या 7 वीं से 4 कम तथा 8 वीं से 7 कम हो, तो 8 वीं संख्या क्या होगी?
A. 20
B. 25
C. 30
D. 35
हल: प्रश्नानुसार,
8 संख्याओं का औसत = 20
8 संख्याओं का योग = 160
2 संख्याएँ का योग = (31/2) × 2
= 31
3 संख्याओं का योग = (64/3) × 3
= 64
माना,
छठी संख्या= x
सातवीं संख्या = x + 4
आठवीं संख्या = x +
7
3x + 11 + 31 + 64 = 160
x = 54/3
x = 18
आठवीं संख्या = 18 + 7
Ans. 25
Q.16 एक कक्षा में 30 छात्र हैं, इनमें से 10 छात्रों की औसत आयु 12.5 वर्ष हैं तथा शेष 20 छात्रों की औसत आयु 13.1 वर्ष हैं, पूरी कक्षा के छात्रों की औसत आयु कितनी हैं?
A. 10.8
B. 11.9
C. 12.9
D. 14.8
हल: प्रश्नानुसार,
10 छात्रों की औसत आयु = 12.5 वर्ष
10 छात्रों की कुल आयु = 125 वर्ष
20 छात्रों की औसत आयु = 13.1 वर्ष
20 छात्रों की कुल आयु = 262
वर्ष
30 छात्रों की कुल आयु = 125 + 262
= 387 वर्ष
30 छत्रों की औसत आयु = 387/30
Ans. 12.9 वर्ष
Q.17 छः संख्याओं का औसत 30 हैं, यदि प्रथम चार संख्याओं का औसत 25 तथा अंतिम तीन संख्याओं का औसत 35 हो, तो चौथी संख्या क्या हैं?
A. 20
B. 25
C. 30
D. 35
हल: प्रश्नानुसार,
6 संख्याओं का औसत = 30
6 संख्याओं का योग = 30 × 6
= 180
प्रथम चार संख्याओं का औसत = 25
प्रथम चार संख्याओं का योग = 25 × 4
= 100
अंतिम तीन संख्याओं का
औसत = 35
अंतिम तीन संख्याओं का योग = 35 × 3
= 105
चौथी संख्या = 100 + 105 – 180
Ans. 25
Q.18 7 क्रमिक संख्याओं का औसत 20 हैं, इनमें सबसे बड़ी संख्या होगी?
A. 20
B. 23
C. 26
D. 29
हल: प्रश्नानुसार,
7 क्रमिक संख्याओं में चौथी संख्या 20 होगी।
अतः सबसे बड़ी (अर्थात सातवीं) संख्या = 20 + 3
Ans. 23
Q.19 एक साइकिल वाला 3 घण्टे में 30 किलोमीटर दूरी तय करता हैं तो उसकी औसत चाल होगी?
A. 10
B. 20
C.
15
D. 25
हल: औसत चाल = 30/3
औसत चाल = 10
Ans. 10 किलोमीटर/घण्टा
Q.20 एक व्यक्ति एक स्थान से दूसरे स्थान तक 8 किलोमीटर/घण्टा की चाल से जाता हैं और 12 किलोमीटर/घण्टा की चाल से वापस आता हैं तो बताएं कि पूरी यात्रा की औसत चाल क्या होगी?
A. 9.6
B. 7.8
C. 9.7
D. 9.5
हल: औसत चाल = (2 x y) / (x + y)
= (2 × 8 × 12) / (8 + 12)
= 192 / 20
Ans. 9.6 किलोमीटर/घण्टा
Q.21 प्रथम 50 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत
बताइए?
A. 858.5
B. 789.5
C. 679.4
D. 789.5
हल: प्रश्नानुसार,
n = 50
= n (n+1) (2n+1)/6
= 50 (50+1) (2×50×1) / 6
= 50 × 51 × (100+1) / 6
= 50 × 51 × 101
Ans. 858.5
Q.22 प्रथम 50 प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत ज्ञात कीजिए?
A. 3486.8
B. 76654.9
C. 32512.5
D. 4578.9
हल: प्रश्नानुसार,
= [n ( n + 1 )²] / 4
= n = 50
= [50 (50 + 1)²] / 4
= [50 ( 51)²] / 4
= 50 × 51 × 51 / 4
Ans. 32512.5
Q.23 यदि 10 आदमियों की औसत आयु 30 वर्ष तथा 30 आदमियों की औसत आयु 40 वर्ष हो तो कुल आदमियों की औसत आयु होगी?
A. 45.8
B. 78.9
C. 37.5
D. 86.9
हल: प्रश्नानुसार,
G1 = 10
G2 = 30
A1 = 30
A2 = 40
अभीष्ट औसत = (G1×A1 + G2×A2) / (G1 + G2)
= (10 × 30 + 30 × 40) / (10 + 30)
= (300 + 1200) / 40
= 1500 / 40
Ans. 37.5
Q.24 यदि 30 लड़कों के प्राप्तांको का औसत 60 हैं तथा उनमें से 10 लड़कों का औसत 50 हैं तो
शेष लड़कों का औसत प्राप्तांक ज्ञात कीजिए?
A. 60
B. 65
C. 70
D. 75
हल: प्रश्नानुसार,
G1 = 30
G2 = 10
A1 = 60
A2 = 50
अभीष्ट औसत = (G1×A1) – (G2×A2) / (G1 – G2)
औसत = (30 × 60) – (10 × 50)/ (30 – 10)
= (1800 – 500) / 20
= 1300 / 20
= 65
Ans. 65
ऊपर आपने औसत (Average) से संबंधित महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर को हल करना सीखा, उसी प्रकार नीचे कुछ प्रश्न दिए गए हैं जिसको आप स्वंम हल करके औसत (Average) के प्रश्नों की प्रैक्टिस कीजिए और परीक्षा में सही उत्तर को टिक कीजिए।
Q.1 प्रथम 88 प्राकृतिक सम संख्याओं का औसत हैं?
Ans. 89
Q.2 5 के प्रथम 15 गुणजों का औसत हैं?
Ans. 40
Q.3 25 छात्रों की औसत आयु 17 वर्ष हैं, यदि इसमें अध्यापक की आयु भी शामिल कर ली जाए, तो औसत में 1 वर्ष की वृद्धि हो जाती हैं, अध्यापक की आयु हैं?
Ans. 43
Q.4 A, B व C का औसत भार 45 किग्रा हैं, यदि A तथा B का औसत भार 40 किलोग्राम तथा B और C का औसत भार 43 किलोग्राम हो, तो B का भार बताइए?
Ans. 31 किलोग्राम।
Q.5 सोमवार से गुरुवार तक औसत तापमान 40℃ था तथा मंगलवार से शुक्रवार का औसत तापमान 42℃ था, यदि सोमवार का तापमान 32℃ था तो शुक्रवार का तापमान कितना था?
Ans. 38℃
Q.6 40 व्यक्ति की औसत आय 4200 रूपए हैं तथा अन्य 35 व्यक्तियों की औसत आय 4000 रूपए हैं, पूरे समूह की औसत आय हैं?
Ans. 308000/75
Q.7 एक परीक्षा में चार विषयों में प्राप्त कुल अंक 200 हैं, यदि तीन विषयों में प्राप्त अंकों का औसत 48 हैं तो चौथे विषय में प्राप्त अंक हैं?
Ans. 56
Q.8 9 आमों में से 120 ग्राम के भार वाले एक आम के स्थान पर दूसरा आम ले लेने से इनके औसत भार में 20 ग्राम की वृद्धि हो जाती हैं, बदले गए आम का भार क्या हैं?
Ans. 300 ग्राम
Q.9 यदि 7 क्रमिक संख्याओं का औसत 20 हो, तो उन संख्याओं में सबसे बड़ी संख्या होगी?
Ans. 23
Q.10 24 छात्रों एवं उनके अध्यापक की औसत आयु 15 वर्ष हैं, यदि अध्यापक की आयु छोड़ दी जाए तो औसत आयु 1 वर्ष कम हो जाती हैं, अध्यापक की आयु कितनी हैं?
Ans. 39 वर्ष
Q.11 30 परिमाण का औसत 15 हैं तथा अन्य 10 परिमाणों का औसत 40 हैं, सभी परिमाणों का औसत क्या हैं?
Ans. 21.25
Q.12 5 संख्याओं का औसत 26 हैं, यदि एक संख्या निकाल दी जाए तो उसका औसत 24 हो जाता हैं, निकाली गई संख्या हैं?
Ans. 34
Q.13 रमेश तथा सुरेश की आयु का औसत 55 वर्ष हैं, 5 वर्ष पूर्व इनकी आयु का अंतर 10 वर्ष था, दोनों की वर्तमान आयु होगी?
Ans. 50 वर्ष।
Q.14 5 वर्ष पूर्व चार व्यक्तियों की औसत आयु 45 वर्ष थी, एक नये व्यक्ति के शामिल होने पर उनकी वर्तमान आयु 49 वर्ष हो गयी, उस नए व्यक्ति की आयु होगी?
Ans. 45 वर्ष।
Q.15 यदि 3, 3, 8, 6, 7 तथा x का औसत 6 हो, तो x का क्या मान हैं?
Ans. 9
Q.16 एक खिलाड़ी की पांच रनों का औसत 40 हैं, यदि उसकी 4 पारियों के रन 20, 60, 55, 50 हो तो पांचवीं पारी के रन होंगे?
Ans. 15 रन।
Q.17 दस संख्याओं का औसत 7 हैं, यदि प्रत्येक संख्या को 12 से गुना कर दें, तो नई संख्याओं का औसत क्या होगा?
Ans. 84
Q.18 100 संख्याओं का औसत ज्ञात करने पर 40 प्राप्त हुआ, बाद ए ज्ञात हुआ कि एक संख्या को 53 के स्थान पर त्रुटि से बढ़ लिया गया, ठीक औसत क्या हैं?
Ans. 39.7
Q.19 50 संख्याओं का औसत 38 हैं, यदि इनमें से दो संख्याओं 45 तथा 55 को छोड़ दिया जाए, तो शेष संख्याओं का औसत क्या होगा?
Ans. 37.5
Q.20 25 छात्रों की औसत उम्र 20 वर्ष हैं, एक छात्र के बाहर चले जाने पर छात्रों की औसत उम्र 19 वर्ष हो जाती हैं, बाहर जाने वाले छात्र की उम्र क्या हैं?
Ans. 44 वर्ष।
जरूर पढ़े :
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- समय, दूरी और चाल
- अनुपात और समानुपात
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